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歐拉公式#數學如詩，境界為上

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作者：嚴加安（中國科學院院士、中國科學院數學與系統科學研究院研究員）
王國維在《人間詞話》中提出：“詞以境界為最上。有境界自成高格，自有名句?！彼f：“有造境，有寫境，此‘理想’與‘寫實’二派之所由分?！卑次依斫猓霸炀场笔且砸饽詈拖胂鬄榫?，“寫境”是描寫現實的景物。王國維還把藝術家分為“寫實家”和“理想家”，并認為這兩者是相通的。他還寫道：“詩人對宇宙人生，須入乎其內，又須出乎其外。入乎其內，故能寫之。出乎其外，故能觀之。入乎其內，故有生氣。出乎其外，故有高致?！?br /> 歐拉公式#數學如詩，境界為上
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數學家維納說：“數學是一門精美的藝術”。我認為，數學如同詩歌，評價一項數學成就，也應以境界為上。數學上也有“造境”與“寫境”之分，前者是“創造理論”，后者是“解決難題”。數學家也有“寫實家”和“理想家”之分，前者是“入乎其內”，側重應用數學；后者是“出乎其外”，側重純粹數學，但兩者是互通的。
數學與詩歌有許多共性，下面歸納為八點。
第一，數學和詩歌的源泉都是自然和社會。數學史家克萊因認為：“對自然的深入研究是數學發現最豐富的源泉?！?br /> 第二，數學和詩歌都追求和諧與簡潔。詩歌是力圖通過簡潔的語言和韻律，抒發詩人的情懷，表達深邃的哲理。數學的和諧是不言而喻的。至于數學的簡潔，一方面數學結果是通過簡明的命題或定理的形式來表述的；另一方面，在研究過程中，數學家追求在較少條件下推出盡可能廣泛而深刻的結論，或者力圖簡化已有結果的證明。
第三，數學中的“對偶”與詩詞中的“對仗”是異曲同工。詩詞中的“對仗”能使意境更加優美，抒情更加感人，哲理更加深邃。數學中的“對偶”使得數學理論變得更加深刻，更加優美。數學中的“對偶”不只是數學的結構和框架，而且是一種思維方式，也是重要的證明工具和技巧。
第四，數學和詩歌的創作都需要直覺和想象力。所謂直覺，就是沒有經過意識推理而對某事物產生的理解和判斷。當然，任何科學和藝術的創作都需要直覺和想象力，但數學和詩歌更為突出。例如，李白《望廬山瀑布》中詩句“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”就極富直覺和想象。這種直覺和想象是源于詩人的形象思維。數學史家克萊因說：“在預測能被證明的內容時，和構思證明的方法時一樣，數學家們利用高度的直覺和想象?！狈▏麛祵W家龐加萊認為：“我們靠邏輯來證明，但要靠直覺來發明?！边@里的“發明”就是指提出問題和構思證明的方法。
第五，詩歌創作和數學研究都需要激情和靈感。詩人有了激情才能把自己的感悟加深和放大，把內心情感宣泄出來，作品才能打動人和感染人。對數學研究來說，激情來自于探求未知真理的好奇和對美的追求。靈感也叫頓悟，它是一種近乎無意識或潛意識的非邏輯式的創造性思維活動。靈感是對某一問題長期思考以后突然產生的思想火花，有時產生于全神貫注思考問題之際，有時卻是在不經意間或意識蒙朧之中。靈感有時也來源于對不同現象的類比和聯想。
第六，數學研究和詩歌創作都需要有美感。法國數學家龐加萊在《數學創造》一文中形象地描述了數學美感在數學創造過程中的作用，他說：“各種數學概念在潛意識里碰撞組合，數學直覺從中篩選有意義的組合，進而進行創造?！瓭撘庾R做出選擇時，所用的標準便是數學的美感，數和形的和諧感，幾何學的雅致感?！睌祵W史家克萊因認為：“進行數學創造的最主要驅動力是對美的追求。”