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數學家們！十大基礎數學證明，“簡單”的蜂窩猜想證明，花了2000多年的時間

數學愛好者說，一個問題或定理的文本越短，它的解或證明越長，這個問題或定理就越漂亮。數學哲學家和歷史學家說，定理（作為猜想）被證明的時間越長，它對數學的發展以及對數學本質和基礎的探究就越重要。
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數學史證明他們在這方面是正確的。為了解決這些猜想，數學家們已經掙扎了幾十年，甚至幾百年，幾千年。他們被敦促把現有的不同性質、結構和語言的數學理論聯系起來，甚至創造出比這些猜想更復雜的新理論。隨著新的聯系、結構、概念框架和內容的增加，它們促進了數學本身和科學的適用性的增加。
這篇文章，我列出了10個基于基礎數學的猜想——即在基礎代數、數論、歐幾里得幾何和基本幾何拓撲中。這些猜想都是經過至少幾十年才被證明。
Abel-Ruffini定理（25年）
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也被稱為阿貝爾不可能定理，它表明五次或更高次的一般多項式方程不存在一般代數解（即根式解）。該猜想起源于1799年高斯的研究，同年保羅·魯菲尼首次嘗試解決該猜想。然而，魯菲尼的解對于當時的偉大數學家（包括柯西）來說并不是令人信服的，因為使用的激進式的定義是不完整的。
N. H.阿貝爾被認為是該猜想的證明者（1824年）。他的證明是基于伽羅瓦理論的一些結果；然而，這個理論在證明的時候還沒有具體化。幾年后，在J.劉維爾的合著下，伽羅瓦的理論發表了，并被公認為在方程理論方面帶來了重大發現。
1963年，V. Arnold提供了Abel-Ruffini定理的拓撲證明，奠定了拓撲伽羅瓦理論的基礎。
希爾伯特的第17個問題（27年）
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希爾伯特在1900年提出了著名的“23個數學問題”，其中第十七個問題是：
給定一個只在實數上取非負值的多變量多項式，這個多項式能被表示為有理函數的平方和嗎？
這個問題起源于1885年H. Minkowski（閔可夫斯基）的博士論文答辯，他認為存在著實多項式，它們在整個R^n上是非負的，不能寫成實多項式的有限平方和。
希爾伯特在1893年解決了n = 2的特殊情況，E. Artin在1927年用有序域的Artin- schreier理論肯定地解決了一般問題，并應用于代數群理論和模型理論。
費馬小定理（43年）
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這個猜想最早是由P·德·費馬在1640年寫給他朋友的信中提出的，它說，如果p是素數，那么對于任何整數a，整數a^p - a是p的倍數。
在組合、多項式、動力系統、模運算或群論項中，這個定理得到了一些證明。歐拉在1736年首次發表了一個證明（用模運算）。然而，在1683年之前，萊布尼茨在一份未發表的手稿中留下了同樣的證明。該定理是數論的一個基本結論，是一個重要的質數檢驗。這個定理的一個直接推廣是數論中的歐拉定理。這一定理最相關的理論應用是在群論中；至于實際應用，其中一個是密碼學。
龐加萊猜想（98年）
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在拓撲學中，龐加萊猜想是一個描述3維球（在四維空間包圍單位球的超球）的命題，它說每一個單連通的、封閉的3維流形與3維球是同胚的。
換句話說，對于一個局部看起來像三維空間，但是連接的空間，有限的大小，沒有任何邊界的空間，如果這樣的空間具有空間中的每一個環都可以連續地收緊到一個點的特性，那么它必然是一個三維球體。