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【 定理！天才高斯——19世紀最偉大的數學家，近代數學的奠基者】卡爾·弗里德里?！じ咚梗?777~1855）是一個神童。19歲差一個月的他作出了一項非凡的發現。2000多年以來，人們知道如何用直尺和圓規作等邊三角形和正五邊形（還有其他的正多邊形，其邊數是2、3、5的倍數），但不知道如何作出邊數為素數的正多邊形。高斯證明，正七邊形也能用直尺和圓規作出。


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• 高斯日記

高斯通過寫日記來紀念他的發現，在接下來的18年里，他在這本日記中記下了他的很多發現。他還是一個學生的時候就獲得了很多成功。其中有一些是對歐拉、拉格朗日及其他18世紀數學家們已經證明的定理的重新發現；有很多是新發現。在他學生時代的更重要的發現中，我們可以挑出最小平方法、數論中二次互反律的證明，以及他對代數基本定理的研究。他獲得了博士學位，學位論文的標題是《關于所有含一個變量的有理代數整函數都能分解為一次或二次實因子的定理的新證明》。這是他一生中所發表的代數基本定理的4個證明當中的第一個，在這篇論文中，高斯強調了在證明這個定理的過程中證實至少有一個根的重要性。下面的說明可以顯示他的思路。
我們可用圖示的方法解方程


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證明存在一個復數值z=a+bi滿足這個方程。用a+bi取代z，并分開方程中的實數部分和虛數部分，我們就得到a^2-b^2=0和ab-2=0。把a和b解釋為變量，并在同一坐標系中畫出這些函數，一個坐標軸代表實數部分a，另一個坐標軸代表虛數部分b，我們就有了兩條曲線；一條由直線a+b=0和a-b=0構成，另一條由等軸雙曲線ab=+2構成。


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很顯然，這兩條曲線有一個交點P在第一象限。我們應該特別注意，第一條曲線的一條分支沿著θ=1π/4和θ=3π/4的方向離開原點；第二條曲線的一條分支漸近地向著θ=0π/4和θ=2π/4的方向移動；交點在最后兩個方向θ=0和θ=π/2之間。這個交點的a和b的坐標是方程z^2-4i=0的一個解的實數部分和虛數部分。假如我們最初的多項式方程是三次而不是二次，則一條曲線的一根分支就會趨近于θ=1π/6和θ=3π/6的方向，另一條曲線就會趨近于θ=0π/6和θ=2π/6的方向。在每一種情況下這些分支都是連續的，因此，它們一定要相交于θ=0至θ=π/3之間的某個地方。
對于一個n次方程來說，一條曲線的一根分支有漸近方向θ=1π/2n和θ=3π/2n，而另一條曲線的分支有漸近方向θ=0π/2n和θ=2π/2n。這些分支必定相交于從θ=0至θ=π/n之間，這個交點的a和b的坐標，就是滿足這個方程的復數的實數部分和虛數部分。因此我們看到，不管一個多項式方程的次數是幾，它必定至少有一個復數根。我們會注意到，高斯依靠這些曲線的圖示來證明它們相交。承認這個結果，多項式方程可以分解為一次或二次實因子也就得到了證明。
數論高斯在他還是哥廷根大學的一名學生的時候，就開始撰寫一部重要的數論著作——《算術研究》，是數學文獻中的偉大經典之一，在他的博士論文通過兩年之后出版。此書由7個部分組成。前4個部分本質上是對18世紀數論的濃縮重構。討論的基本原則是同余和剩余類的概念。第5部分致力于二元二次型理論，特別是形如

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