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定理！天才高斯——19世紀最偉大的數學家，近代數學的奠基者( 二 )


的方程的解的問題；這一部分所發展出來的技術，成了后來一代代數論學家所做的大量工作的基礎。第6部分由各種不同的應用所組成。最后一部分起初吸引了最多的關注，處理的是次數為素數的割圓方程的解。
高斯把勒讓德在兩年前發表的二次互反律稱作黃金定律。在后來的作品中，高斯試圖得出同余式x^n=p(modq)對于n=3和4的類似定理；但對這兩種情況，他發現有必要把“整數”這個詞的意義擴大到包括所謂的高斯整數，亦即形如a+bi的整數，式中，a和b都是整數。高斯整數構成了一個整環，像實整數整環一樣，但更一般。可整除性的問題變得更復雜，因為5不再是一個素數，可分解為兩個“素數”1+2i和1-2i的乘積。事實上，任何形如4n+1的實素數都不是“高斯素數”，而形如4n-1的實素數依然是一般化意義上的素數。在高斯的《算術研究》中，包括了算術基本定理，它是在高斯整數的整環中繼續有效的基本原理之一。事實上，任何一個因子分解是唯一的整環今天都被稱作高斯整環?！端阈g研究》的貢獻之一是下面這個定理的證明，這個定理自歐幾里得時代以來就被人所知：
任何一個正整數都可以用一種、且只能用一種方式表示為素數的乘積。
高斯關于素數的發現，并沒有全都包含在《算術研究》中。在他還是一個14歲的孩子時，高斯就在一張對數表的背面，用德文寫下了這樣一行隱晦的文字：

定理！天才高斯——19世紀最偉大的數學家，近代數學的奠基者
文章插圖

這行文字說的是一個著名的素數定理：小于給定整數a的素數的個數在a無窮遞增時趨近于a/lna。
正如我們已經看到的那樣，勒讓德曾經接近于預先發現這個定理；但奇怪的是，正如我們所推測的那樣，高斯寫下了這個定理，但他一直對這個巧妙的結論保守秘密。我們不知道他是否證明了這個定理，甚至也不知道他何時寫下了這個定理的陳述。素數的分布對數學家有著強烈的吸引力。
1845年，當高斯已經是個老人的時候，巴黎的一位教授約瑟夫·L.F.貝特朗提出了這樣一個猜想：如果n>3，那么，在n與2n（或者更準確地說是2n-2）之間至少包括一個素數。這個猜想被稱作貝特朗公設，在1850年被圣彼得堡大學的帕夫努蒂·切比雪夫所證明。切比雪夫作為他那個時代首屈一指的俄國數學家，是羅巴切夫斯基的競爭對手，他后來成了法蘭西科學院和英國皇家學會的外籍院士。切比雪夫明顯不知道高斯論述素數的作品，他能夠證明，如果π(n)(lnn)/n在n無窮遞增時趨近于一個極限，那么，這個極限必定是1；但他不能證明一個極限的存在。直到切比雪夫去世兩年之后，一個證明才廣為人知。
關于素數的個數和分布的問題，從歐幾里得時代迄至今日，讓很多數學家神魂顛倒。有一個定理，高斯本人在《算術研究》中給出了一個驚人的實例，說明了這樣一個事實：素數的屬性甚至以最出人意料的方式侵入了幾何學的領域。
高斯在《算術研究》的結尾部分，收入了他在數學領域作出的最早的重要發現：正七邊形的作法。他通過證明無窮多種可能的正多邊形中哪些能作出、哪些不能作出，從而把這一課題帶向了其邏輯結果。一般性的定理，比如高斯眼下所證明的，遠比一個特例更有價值，不管這個特例多么壯觀。我們應該還記得，費馬曾經相信，形如

  • 費馬數
的數是素數，歐拉后來證明這個假說是錯誤的。高斯已經證明了，正17邊形是可以作出的，問題自然出現了：正257邊形和正65537邊形是否可以用歐幾里得的工具作出。在《算術研究》中，高斯對這個問題的回答是肯定的，他證明了，只要N是