圓周角定理

2026-04-03 生活百科

什么是圓周角定理？圓周角定理：同弧或等弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半。
半圓（直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

圓周角定理是什么?可以得到什么推論定理：在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半.推論：半圓或直徑所對的圓周角是直角,九十度的圓周角所對的弦是直徑.在同圓或等圓中,如果兩個圓周角相等,它們所對的弧一定相等

圓周角定理意思圓周角定理詳解圓周角的定義頂點在圓周上，并且兩邊為圓的兩條弦的角叫做圓周角（angle in a circular segment）（Inscribed Angle）。圓周角的頂點在圓上，它的兩邊為圓的兩條弦。圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都等于這條弧所對的圓心角的一半。圓周角定理證明求證：同一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角度數的一半．已知：⊙O中， ∠AOB和∠ACB分別是所對的圓心角和圓周角．求證：∠AOB=2∠ACB證明：當圓心O在∠ACB的一條邊上時，如圖(1)，證明方法同課本，這里不在贅述．當圓心O在∠ACB的外部時，如圖(2)．聯結OC．∵OC=OB，OC＝OA∴∠OCA=∠OAC ， ∠OCB=∠OBC∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB∴∠AOC-∠BOC =180°-2∠OCA-180°+2∠OCB∴∠AOC-∠BOC =2(∠OCB -∠OCA)∵∠AOC-∠BOC=∠AOB，∠OCB -∠OCA=∠ACB∴∠AOB=2∠ACB；當圓心O在∠ACB的內部時，如圖(3)．聯結OC．∵OC=OB，OC＝OA∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB∵∠AOC+∠BOC+∠AOB =360°∴∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC∴∠AOB=360°-180°+2∠OCA-180°+2∠OCB∴∠AOB=2(∠OCA+∠OCB)∵∠OCA+∠OCB =∠ACB∴∠AOB=2∠ACB ；綜上所述，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半圓周角定理推論①圓周角度數定理：圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半。②同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等圓周角所對的弧也相等。（不在同圓或等圓中其實也相等的。注：僅限這一條。[2]）③半圓（或直徑）所對圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。④圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角。⑤在同圓或等圓中，圓周角相等弧相等弦相等。

圓周角定理同弧或等弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半

祝開心！希望能幫到你~~

圓周角定理的定理內容圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半。
圓周角定理是什么圓周角定理證明是中考必考幾何題型，是初中數學重要知識點之一，為便于同學們理解加深印象，給出動態演示圖。
圓周角定理證明圓周角定理：圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半。定理證明已知在⊙O中，∠BOC與圓周角∠BAC同對弧BC，求證：∠BOC=2∠BAC.證明：情況1：如圖1，當圓心O在∠BAC的一邊上時，即A、O、B在同一直線上時：圖1∵OA、OC是半徑解：∴OA=OC∴∠BAC=∠ACO（等邊對等角）∵∠BOC是△AOC的外角∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC情況2：如圖2, ，當圓心O在∠BAC的內部時：連接AO，并延長AO交⊙O于D圖2∵OA、OB、OC是半徑解：∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等邊對等角）∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC情況3：如圖3 ，當圓心O在∠BAC的外部時：圖3連接AO，并延長AO交⊙O于D連接OA,OB 。解：∵OA、OB、OC、是半徑∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC圓心角等于180度的情況呢？看情況1的圖，圓心角∠AOB=180度，圓周角是∠ACB，顯然因為∠OCA=∠OAC=∠BOC/2∠OCB=∠OBC=∠AOC/2所以∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠ABC）/2=90度所以2∠ACB=∠AOC圓心角大于180度的情況呢？看情況3的圖，圓心角是（360度-∠AOB），圓周角是∠ACB ，只要延長CO交園于點E，由圓心角等于180度的情況可知∠CAE=∠CBE=90度所以∠ACB+∠AEB=180度，即∠ACB=180度-∠AEB由情況2可知：∠AOB=2∠AEB所以360度-∠AOB=2（180度-∠AEB）=2∠ACB
圓的弦切角定理與圓周角定理有什么不同弦切角的定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦角。
弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。
如圖
AB是○O的切線， AC是弦，∠BAC就是弦切角，∠BAC=∠D
圓周角定義
頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角
圓周角定理
一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

圓心角定理圓周角定理圓心角定理：在同圓等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對弦的弦心距也相等．
圓周角定理：①圓周角度數定理,圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半
②同圓或等圓中,圓周角等于它所對的弧上的圓心角的一半
③同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,相等圓周角所對的弧也相等
④半圓（或直徑）所對圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑
⑤圓的內接四邊形的對角互補,并且任何一個外角都等于它的內對角.

圓周角定理如圖所示
怎樣證明圓周角定理圓周角度數定理的另一種證明方法
圓周角度數定理是圓一章的一個重要的定理，它是解決和圓有關的角的問題的重要依據，這個定理的證明北京版數學教材中給出了一種證明方法，這種證明方法主要用的是外角方面的知識，老師們在教學中多是仿照書上的方法進行證明，而很少去探討和思考別的證明方法，下面給出用三角形內角和證明這個定理的方法，供大家參考．
求證：同一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角度數的一半．
已知：⊙o中， ∠aob和∠acb分別是
所對的圓心角和圓周角．
求證：∠aob=2∠acb
證明：當圓心o在∠acb的一條邊上時，如圖(1) ，證明方法同課本，這里不在贅述．
當圓心o在∠acb的外部時，如圖(2)．聯結oc．
∵oc=ob，oc＝oa
∴∠oca=∠oac，∠ocb=∠obc
∵∠oca+∠oac+∠aoc=180°，∠ocb+∠obc+∠boc=180°
∴∠aoc=180°-∠oca-∠oac，∠boc=180°-∠ocb-∠obc
∴∠aoc=180°-2∠oca，∠boc=180°-2∠ocb
∴∠aoc-∠boc
=180°-2∠oca-180°+2∠ocb
∴∠aoc-∠boc
=2(∠ocb
-∠oca)
∵∠aoc-∠boc=∠aob，∠ocb
-∠oca=∠acb
∴∠aob=2∠acb；
當圓心o在∠acb的內部時，如圖(3)．聯結oc．
∵oc=ob ， oc＝oa
∴∠oca=∠oac，∠ocb=∠obc
∵∠oca+∠oac+∠aoc=180° ， ∠ocb+∠obc+∠boc=180°
∴∠aoc=180°-∠oca-∠oac，∠boc=180°-∠ocb-∠obc
∴∠aoc=180°-2∠oca，∠boc=180°-2∠ocb
∵∠aoc+∠boc+∠aob
=360°
∴∠aob=360°-∠aoc-∠boc
∴∠aob=360°-180°+2∠oca-180°+2∠ocb
∴∠aob=2(∠oca+∠ocb)
∵∠oca+∠ocb
=∠acb
∴∠aob=2∠acb
；
綜上所述，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

這個怎么證明圓周角定理延長BO交圓O于A'點，連結CA'，易知角BOC是三角形OA'C的外角，又由于三角形OA'C是等腰三角形，容易得到角BOC等于2倍的角OA'C，這里角OA'C和角BAC同弧，故角OA'C等于角BAC，圓周角定理得證！

怎樣證明圓周角定理有無簡便方法?圓周角等于同弧所對圓心角的一半
等弧所對的弦長相等
半徑都相等
所以可以用“邊邊邊”證明三角形全等
從而證明等弧所對的圓心角相等
所以可以證明等弧所對的圓周角相等

圓周角定理的證明詳細過程😳詳解，不會

圓周角定理在證明過程中用到了哪些思想方法延長BO交圓O于A'點，連結CA'，易知角BOC是三角形OA'C的外角，又由于三角形OA'C是等腰三角形，容易得到角BOC等于2倍的角OA'C，這里角OA'C和角BAC同弧，故角OA'C等于角BAC ，圓周角定理得證！

寫出圓心角，圓周角與弦及其之間關系的定理.圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關系是論證同圓或等圓中弧相等、角相等及線段相等的主要依據，同時圓心角和它所對的弧的對應相等關系，并由此得圓心角的度數和它所對弧的度數相等．
二、
圓周角
l、圓周角定義：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角．
它有兩個特征：（1）角的頂點在圓上，（2）角的兩邊都與圓相交．兩者缺一不可．如圖中的角均不是圓周角．
2．定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．
3．推論①：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．
推論②：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．
推論③：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．
圓周角定理及其推論是進一步推導圓其他重要性質的理論根據，而且對于角的計算，推證角相等、弧相等、弦相等，判定相似三角形、直角三角形等平面幾何中常見問題提供了十分簡便的方法，所以它是本單元的重點；圓周角定理的證明要用到分類討論，所以也是難點．

求證：若一條弧所對的角是這條弧所對圓心角的一半,則這個角是圓周角。（即圓周角定理的逆定理）求證：同一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角度數的一半．

已知：⊙O中， ∠AOB和∠ACB分別是所對的圓心角和圓周角．

求證：∠AOB=2∠ACB

證明：當圓心O在∠ACB的一條邊上時，如圖(1)，證明方法同課本，這里不在贅述．

當圓心O在∠ACB的外部時，如圖(2)．聯結OC．

∵OC=OB，OC＝OA

∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC

∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180° ， ∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°

∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC

∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB

∴∠AOC-∠BOC =180°-2∠OCA-180°+2∠OCB

∴∠AOC-∠BOC =2(∠OCB -∠OCA)

∵∠AOC-∠BOC=∠AOB，∠OCB -∠OCA=∠ACB

∴∠AOB=2∠ACB；

當圓心O在∠ACB的內部時，如圖(3)．聯結OC．

∵OC=OB ， OC＝OA

∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC

∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°

∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC ， ∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC

∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB

∵∠AOC+∠BOC+∠AOB =360°

∴∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC

∴∠AOB=360°-180°+2∠OCA-180°+2∠OCB

∴∠AOB=2(∠OCA+∠OCB)

∵∠OCA+∠OCB =∠ACB

∴∠AOB=2∠ACB ；

綜上所述，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

圓周角定理的內容一條弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半。這一定理叫做圓周角定理

推論有：
1.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；
2.圓周角的度數等于它所對的弧度數的一半；
3.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等。
4.半圓（直徑）所對的圓周角是直角。
5.90°的圓周角所對的弦是直徑。
注意：在圓中，同一條弦所對的圓周角有兩個，一個是優弧所對的角，一個是劣弧所對的角。

等對等定理是什么?垂徑定理是什么?圓周角定理是什么?圓心角的度數和它所對的弧的度數相等垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對的兩條弧一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

圓周角定理的定理證明

文章插圖

圓周角定理：一條弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半證明：已知在⊙O中，∠BOC與圓周角∠BAC同對弧BC，求證：∠BOC=2∠BAC.證明：情況1：如圖1，當圓心O在∠BAC的一邊上時，即A、O、B在同一直線上時：∵OA、OC是半徑解：∴OA=OC∴∠BAC=∠ACO（等邊對等角）∵∠BOC是△AOC的外角∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC圖1情況2：如圖2,，當圓心O在∠BAC的內部時：連接AO，并延長AO交⊙O于D∵OA、OB、OC是半徑解：∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等邊對等角）∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC圖2情況3：如圖3，當圓心O在∠BAC的外部時：連接AO，并延長AO交⊙O于D連接OA,OB 。解：∵OA、OB、OC、是半徑∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO（等邊對等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC從而得證：∠BOC=2∠BAC.圖3擴展資料：定理推論1.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半;2.圓周角的度數等于它所對的弧度數的一半;3.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等;相等的圓周角所對的弧也相等。4.半圓(直徑)所對的圓周角是直角。5.90°的圓周角所對的弦是直徑。6.等弧對相等的圓周角。(因為相等的弧只有一個圓心角)注意:在圓中，同一條弦所對的圓周角有無數個。
圓周角定理有哪些?定理
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都等于這條弧所對的圓心角的一半。

推論
半圓（直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

圓周角定理D如果在圓上，且是BC中點，那么是一定相等的。SAS全等

中考數學圖形的性質：圓周角定理及其推論？1、圓周角頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。2、圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。3、圓內接四邊形在同圓內，四邊形的四個頂點均在同一個圓上的四邊形叫做圓內接四邊形（1）.圓內接四邊形的對角互補（2）.圓內接四邊形的外角等于它的內對角。

圓周角定理推論就是老師回答時候該怎么答很急啊定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半
推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等
推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑
推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

圓周角定理及推論滲透了什么數學思想方法化歸思想
請問有哪幾個圓周角A、B、E3個點，各有一個圓周角，D點和C點各有三個圓周角，所以加在一起一共應該有九個圓周角。

圓周角定理推論解：（1）AB,AC之間的大小關系為：AB=AC ，
證明如下：
∵AB是圓O的直徑
∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角為90°）
又∵D是BC的中點
∴AD垂直平分BC
∴AB=AC（線段的垂直平分線上的點到線段兩短點的距離相等）

（2）連BE，
∵AB是圓O的直徑
∴∠AEB=90°，即 BE⊥AC 。
若滿足點E一定是AC的中點，
則BE垂直平分AC
∴BA=BC
又∵AB=AC已證，
∴△ABC還需滿足除AB=AC以外，
還需滿足BC=BA 或 ∠B = 60°，
點E才一定是AC的中點

圓周角定理的三個推論圓周角定理的推論：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等.
其他推論
①圓周角度數定理，圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半
②同圓或等圓中，圓周角等于它所對的弧上的圓心角的一半
③同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等圓周角所對的弧也相等
④半圓（或直徑）所對圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑
⑤圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角。

數學圓的定理、推論初中：
1不在同一直線上的三點確定一個圓。
2垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧
推論1 ①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧
②弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧
③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧
推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等
3圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形
4圓是定點的距離等于定長的點的集合
5圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合
6圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合
7同圓或等圓的半徑相等
8到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半
徑的圓
9定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦
相等，所對的弦的弦心距相等
10推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩
弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等
11定理圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它
的內對角
12①直線L和⊙O相交 d＜r
②直線L和⊙O相切 d=r
③直線L和⊙O相離 d＞r
13切線的判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
14切線的性質定理圓的切線垂直于經過切點的半徑
15推論1 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點
16推論2 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心
17切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，
圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角
18圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等
19弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角
20推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等
30相交弦定理圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積
相等
31推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的
兩條線段的比例中項
32切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割
線與圓交點的兩條線段長的比例中項
33推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等
34如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上
35①兩圓外離 d＞R+r ②兩圓外切 d=R+r
③兩圓相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④兩圓內切 d=R-r(R＞r) ⑤兩圓內含d＜R-r(R＞r)
36定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦
37定理把圓分成n(n≥3):
⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形
⑵經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形
38定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓
39正n邊形的每個內角都等于（n-2）×180°／n
40定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形
41正n邊形的面積Sn=pnrn／2 p表示正n邊形的周長
42正三角形面積√3a／4 a表示邊長
43如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為
360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4
44弧長計算公式：L=n兀R／180
45扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
46內公切線長= d-(R-r) 外公切線長= d-(R+r)
47定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半
48推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等
49推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所
對的弦是直徑
50正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圓半徑
51余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角
52圓的標準方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圓心坐標
53圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
54弧長公式 l=a*r a是圓心角的弧度數r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r 1不在同一直線上的三點確定一個圓。
2垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧
推論1 ①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧
②弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧
③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧
推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等
3圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形
4圓是定點的距離等于定長的點的集合
5圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合
6圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合
7同圓或等圓的半徑相等
8到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半
徑的圓
9定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦
相等，所對的弦的弦心距相等
10推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩
弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等
11定理圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它
的內對角
12①直線L和⊙O相交 d＜r
②直線L和⊙O相切 d=r
③直線L和⊙O相離 d＞r
13切線的判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
14切線的性質定理圓的切線垂直于經過切點的半徑
15推論1 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點
16推論2 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心
17切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，
圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角
18圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等
19弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角
20推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等
30相交弦定理圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積
相等
31推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的
兩條線段的比例中項
32切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割
線與圓交點的兩條線段長的比例中項
33推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等
34如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上
35①兩圓外離 d＞R+r ②兩圓外切 d=R+r
③兩圓相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④兩圓內切 d=R-r(R＞r) ⑤兩圓內含d＜R-r(R＞r)
36定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦
37定理把圓分成n(n≥3):
⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形
⑵經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形
38定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓
39正n邊形的每個內角都等于（n-2）×180°／n
40定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形
41正n邊形的面積Sn=pnrn／2 p表示正n邊形的周長
42正三角形面積√3a／4 a表示邊長
43如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為
360° ，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4
44弧長計算公式：L=n兀R／180
45扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
46內公切線長= d-(R-r) 外公切線長= d-(R+r)
47定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半
48推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等
49推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所
對的弦是直徑
50正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圓半徑
51余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角
52圓的標準方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圓心坐標
53圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
54弧長公式 l=a*r a是圓心角的弧度數r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r

高中：
一、有關圓周角和圓心角的性質和定理：
在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應的其余各組量都分別相等。一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。如果一條弧的長是另一條弧的2倍，那么其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。

二、有關外接圓和內切圓的性質和定理
①一個三角形有唯一確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點距離相等；
②內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。
③R=2S△÷L（R：內切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長）
④兩相切圓的連心線過切點（連心線：兩個圓心相連的直線）
⑤圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB ， CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點。

三、如果兩圓相交，那么連接兩圓圓心的線段（直線也可）垂直平分公共弦。
四、圓心角的度數等于它所對的弧的度數。
五、圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半。
六、弦切角的度數等于它所夾的弧的度數的一半。
七、圓內角的度數等于這個角所對的弧的度數之和的一半。
八、圓外角的度數等于這個等于這個角所截兩段弧的度數之差的一半。
九、有關切線的性質和定理
圓的切線垂直于過切點的半徑；經過半徑的一端，并且垂直于這條半徑的直線，是這個圓的切線。
切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
切線的性質：（1）經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）經過切點垂直于切線的直線必經過圓心。（3）圓的切線垂直于經過切點的半徑。
切線長定理：從圓外一點到圓的兩條切線的長相等，那點與圓心的連線平分切線的夾角。

附：〖有關圓的計算公式〗
1.圓的周長C=2πr=πd
2.圓的面積S=πr^2;
3.扇形弧長l=nπr/180
4.扇形面積S=(nπr^2)/360=lr/2(l為扇形的弧長
5.圓錐側面積S=πrl 6.圓錐側面展開圖（扇形）的圓心角n=360r/l(r是底面半徑,l是母線長)

初中圓的定理1、圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩

弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等

2、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

3、垂徑定理：垂直弦的直徑平分該弦，并且平分這條弦所對的兩條弧。

推論1： ①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

推論2 ：圓的兩條平行弦所夾的弧相等

4、切線之判定定理：經過半徑的外端并且垂直于該半徑的直線是圓的切線。

5、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，他們的切線長相等，這一點與圓心的連線平分這兩條切線的夾角。

6、公切線長定理：如果兩圓有兩條外公切線或兩條內公切線，那么這兩條外公切線長相等，兩條內公切線長也相等。如果他們相交，那么交點一定在兩圓的連心線上。

7、相交弦定理：圓內兩條弦相交，被交點分成的兩條線段長的乘積相等。

8、切割線定理：從圓外一點向圓引一條切線和一條割線，則切線長是這點到割線與圓的兩個交點的兩條線段長的比例中項。

9、割線長定理：從圓外一點向圓引兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

10、切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑

推論1 ：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點

推論2：經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心

11、弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

12、定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

13、定理：把圓分成n(n≥3):

⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形

⑵經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形

14、定理：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓

15、定理：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓

16、定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

17、定理：圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角。

18、(d是圓心距， R、r是半徑)

①兩圓外離 d>R+r

②兩圓外切 d=R+r

③兩圓相交 R-r<dr)

④兩圓內切 d=R-r(R>r)

⑤兩圓內含dr)

圓周角定理怎么證明【圓周角定理】圓周角度數定理的另一種證明方法

圓周角度數定理是圓一章的一個重要的定理，它是解決和圓有關的角的問題的重要依據，這個定理的證明北京版數學教材中給出了一種證明方法，這種證明方法主要用的是外角方面的知識，老師們在教學中多是仿照書上的方法進行證明，而很少去探討和思考別的證明方法，下面給出用三角形內角和證明這個定理的方法，供大家參考．

求證：同一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角度數的一半．

已知：⊙O中，∠AOB和∠ACB分別是所對的圓心角和圓周角．

求證：∠AOB=2∠ACB

證明：當圓心O在∠ACB的一條邊上時，如圖(1) ，證明方法同課本，這里不在贅述．

當圓心O在∠ACB的外部時，如圖(2)．聯結OC．

∵OC=OB，OC＝OA

∴∠OCA=∠OAC ， ∠OCB=∠OBC

∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°

∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC ， ∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC

∴∠AOC=180°-2∠OCA ， ∠BOC=180°-2∠OCB

∴∠AOC-∠BOC =180°-2∠OCA-180°+2∠OCB

∴∠AOC-∠BOC =2(∠OCB -∠OCA)

∵∠AOC-∠BOC=∠AOB，∠OCB -∠OCA=∠ACB

∴∠AOB=2∠ACB；

當圓心O在∠ACB的內部時，如圖(3)．聯結OC．

∵OC=OB，OC＝OA

∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC

∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180° ， ∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°

∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC

∴∠AOC=180°-2∠OCA ， ∠BOC=180°-2∠OCB

∵∠AOC+∠BOC+∠AOB =360°

∴∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC

∴∠AOB=360°-180°+2∠OCA-180°+2∠OCB

∴∠AOB=2(∠OCA+∠OCB)

∵∠OCA+∠OCB =∠ACB

∴∠AOB=2∠ACB ；

綜上所述，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

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