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[遇見數學創作小組] 作者: 心如止水(Java程序員 。善于把復雜的數學知識，簡潔易懂地表達出來)
在學三角這部分的時候，有些書習慣列出誘導公式(induction formula) ， 都列出來的話可以寫小半張紙 。
那什么是“誘導公式”呢？“誘導公式”應該是一個老的翻譯 ， “誘導”也就是我們今天所說的“推導”，除了公理之外，那有什么公式不是推導出來的呢？所以說起這種名字就意味著根本就沒有名字，因為實在太顯而易見了，所以沒有人好意思大叫“尤里卡” ， 沒有人好意思冠名 。
但是沒有名字，交流起來又不方便，所以就干脆這么叫了 ， 這種叫法類似于“孩他娘” 。

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“顯而易見”在哪里？一堆式子本質上只說了兩件事情：
① ×(-1) 幾何意義是轉 π，× i 是轉了 π/2 。
② f(-x) 的幾何意義是 x 軸對稱 。
上面是兩個老調重彈，然后 ， 再結合兩個顯而易見的已知事實：
③ ±2π 的幾何意義是不變 。
④ co 的含義是余角 。
這就是所有的“誘導公式” 。
你可以看出，這說的都是些最基礎的東西，角函數就是這樣的地位：它是二維在一維的投影；旋轉和平移的橋梁；可以看做比值，它卻有簡潔的幾何定義 。
如此簡單的事實是怎么變成那么多公式的？首先 ， 誘導公式并不是用幾何形式寫的 ， 而用函數語言寫的，所以你需要換一種表示方法，或者說換一種觀察角度 。而我們對這種角度是陌生的，所以就容易產生混亂的感覺 ， 只要習慣了是一樣的 。
其次 ， 之所以誘導公式能寫很長一串，就是因為把 tan/sec/cot/csc 都印上去了，其實這些都可以通過 sin/cos 的變化一眼就看出來，印上去是為了實際的查閱方便，不是為了記憶 。不解釋一下會“嚇人一跳”，懂了之后就很簡單，看似很多，其實就那么回事 。
?怎么樣從幾何視角轉換為函數視角呢？

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其實就是復數的乘法

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sin 與 cos 可以看作投影，“平面上關于 x 軸 對稱的點”，在 y 軸 的投影自然是一致的，
y 軸的投影剛好符號相反 。

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任何角轉一圈 ， 從靜止的角度來看都是不變的 。

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co 的意思是余角，余弦就是余角的正弦 。
實際該怎么使用呢？之所以羅列出誘導公式 ， 最重要的目的就是忘記的時候 ， 對照查閱的，如果你手邊沒有對照表，其實只要動動腦筋就可以想明白：
● 這些變化都是以 π/2 為單位的，所以說只要看到 π/2 的倍數，就知道可以應用誘導公式 。
● 如果是 -π/2 奇數倍就是在原來角和余角之間切換，如果是 +π/2 奇數倍就是 × i ；如果是 π 的奇數倍，就是 ×(-1) ；如果發現是上述情況，但是符號不對，那就通過取對稱變換符號 。
真正重要的公式是“積化和差”，從名字就會看出這個東西有降次作用，在對數表發明之前 ， 天學家們就已經用這個公式來簡化計算了 ， 納皮爾發明對數表，也可能受到了它的啟發 。

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【三角學中 什么是余角】參考資料: 維基百科

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