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如何理解非歐幾何,非歐幾何的誕生和發展過程

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歐氏幾何是人類創立的第一個完整的嚴密的(相對而言)科學體系 。它于公元前三世紀由古希臘數學家歐幾里得完成,歐洲數學2000年發展史 ， 幾乎有四分之三的時間里歐氏幾何一統天下，對科學和哲學的影響極其深遠 。直到魏爾斯特拉斯發起的分析算術化運動使代數從歐氏幾何中完全脫離以及非歐幾何的誕生才結束了歐氏幾何的統治地位 。

如何理解非歐幾何,非歐幾何的誕生和發展過程

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其中 ， 非歐幾何的誕生影響著現代自然科學、現代數學和數學哲學的發展，今天我們就來談一下非歐幾何與發展 。
歐氏幾何第五公設問題掀起的風波歐幾里得的《幾何原本》標志著非歐幾何的誕生 ， 在《幾何原本》里，歐幾里得給出了 23 條定義、5條公理、5條公設，由此推證出48個命題 。公理是指在任何數學學科里都適用的不需要證明的基本原理，公設則是幾何學里的不需要證明的基本原理 。近代數學則對此不再區分，都稱“公理” 。
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這五大公設中，由于第五公設的內容和敘述比前四條公設復雜 ， 所以引起后人的不斷研究和探討 。
因為前四條公設都可以用《幾何原本》中的其余公設、公理和推論證明，而人們始終相信歐氏幾何是物理空間的正確理想化，所以眾多數學家就嘗試用前4個公設、5個公理以及由它們推證出的命題來證明第五公設，然而都沒有成功 。
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第五公設難題：如果一條線段與兩條直線相交，在某一側的內角和小于兩直角和 ， 那么這兩條直線在不斷延伸后，會在內角和小于兩直角和的一側相交 。
論證的不成功引發了數學家的疑義，數學界由此開始了對“第五公設難題”的討論 。
數學家還嘗試用更簡單、明暢的語言來敘述這條公設 ， 從而更好地理解它并解決它，古希臘數學家普羅克魯斯在公元5世紀就曾經試圖重現陳述它，然而這些替代性陳述效果并不比原來的文字更好 。直到 18 世紀普萊菲爾才算總結出一個比較簡單的替代性公設：過已知直線外一點能且只能作一條直線與已知直線平行” 。（我們中學教材就常用這個敘述形式來替代第五公設 。）
從公元前三世紀一直到公元十八世紀期間，近 2000 年的時光過去，整個數學體系已經初具雛形 。繼解析幾何和微積分誕生之后，新的數學分支紛紛脫穎而出 。無數困難問題得以解決 。許多數學家創立了復雜艱深的數學理論 。但是人們在看上去極其簡單的第五公設問題面前卻仍然一籌莫展 。法國數學家達朗貝爾在1759年無奈宣稱：第五公設問題是“幾何原理中的家丑” 。
【如何理解非歐幾何,非歐幾何的誕生和發展過程】
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羅巴切夫斯基對第五公設問題的解決宣告了非歐幾何的誕生在達朗貝爾之后，無數數學家開始向第五公設發起了沖鋒，試圖將它攻陷 。
18世紀初，意大利的薩凱里提出用歸謬法試圖證明第五公設，薩凱里從四邊形開始，如果角A和角B是直角，且AC=BD，容易證明角C等于角D，這樣第五公設便等價于角C和角D是直角這個論斷 。薩凱里還提出了鈍角和銳角的假設，但是因為與經驗認識違背 ， 薩凱里最終選擇放棄了最后結論 。
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瑞士數學家蘭伯特也采用了薩凱里的求證思路，他也考察了一類四邊形，其中3個角為直角 ， 而第四個角有三種可能性：銳角，直角 ， 鈍角 。之后蘭貝特否定了鈍角假設，也沒有輕率地做出銳角假設導致矛盾的結論 。